Question

【题目】若存在实数使得则称是区间的一内点．

（1）求证：的充要条件是存在使得是区间的一内点；

（2）若实数满足：求证：存在，使得是区间的一内点；

（3）给定实数，若对于任意区间，是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意都恒成立，求证：

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 (3)证明过程见解析

【解析】

（1）先理解定义，再由已知证明的充要条件是存在使得是区间的一内点；

（2）用作差法判断的大小关系，得，结合（1）即可得证；

（3）由已知可得恒成立，由二次不等式恒成立问题可得，且，解得，同理，即可得解.

解：（1）①若是区间的一内点，

则存在实数使得，则，

②若，取，则，且，

则是区间的一内点，

故的充要条件是存在使得是区间的一内点；

（2）由，，

则，由（1）知，存在，使得是区间的一内点；

（3）因为是区间的一内点，则

则恒成立，

则恒成立，

当时，上式不可能恒成立，

因此，

所以，

即，即 ，

同理，

故.