Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线、，其中直线交椭圆于两点，直线交直线于点，求证：直线平分线段.

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

（1）利用，得到，然后代入点即可求解

（2）设直线，以斜率为核心参数，与椭圆联立方程，把两点全部用参数表示，得出的中点坐标为，然后再求出直线的方程，代入的中点即可证明成立

（1）由得，所以

由点在椭圆上得解得，

所求椭圆方程为

（2）解法一：当直线的斜率不存在时，直线平分线段成立

当直线的斜率存在时，设直线方程为，

联立方程得，消去得

因为过焦点，所以恒成立，设，，

则，

所以的中点坐标为

直线方程为，，可得，

所以直线方程为，

满足直线方程，即平分线段

综上所述，直线平分线段

（2）解法二：因为直线与有交点，所以直线的斜率不能为0，

可设直线方程为，

联立方程得，消去得

因为过焦点，所以恒成立，设，，

，

所以的中点坐标为

直线方程为，，由题可得，

所以直线方程为，

满足直线方程，即平分线段

综上所述，直线平分线段