Question

【题目】已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，求数列 的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．
思路1：先设 的值为1，根据已知条件，计算出 ， ， ．
猜想： .
然后用数学归纳法证明．证明过程如下：
①当 时， ， 猜想成立
②假设 （ N*）时，猜想成立，即 ．
那么，当 时，由已知 ，得 ．
又 ，两式相减并化简，得 （用含 的代数式表示）．
所以，当 时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对任何 N*都成立．
思路2：先设 的值为1，根据已知条件，计算出 ．
由已知 ，写出 与 的关系式： ，
两式相减，得 与 的递推关系式： ．
整理： ．
发现：数列 是首项为 ， 公比为的等比数列．
得出：数列 的通项公式 ， 进而得到 ．

Answer 1

【答案】["",""," ","",""," "," ",""," ","【解析】思路1.由于 ，令 ，可求出 的值，再令 ，可求出 的值，再令 ，可求出 的值，利用不完全归纳法，归纳猜想出 ，再用数学归纳法加以证明, 这是一种“归纳—猜想—证明”思维方式，从特殊到一般的归纳推理方式；思路2.采用构造法直接求出数列得通项公式.

试题解析：思路1.由于 ，令 ， ；令 ， ， ，令 ， ，则

，由此猜想 ；下面用数学归纳法证明，证明过程如下：

①当 时， ，得 ，符合 ，猜想成立.

②假设 （ N*）时，猜想成立，即 ,

那么，当 时，由已知 ，得 ,

又 ，两式相减并化简，得 ， （用含 的代数式表示）．所以，当 时，猜想也成立．

根据①和②，可知猜想对任何 N*都成立．

思路2. 先设 的值为1，根据已知条件，计算出 ，

由已知 ，写出 与 的关系式： ，

两式相减，得 与 的递推关系式： ，

整理： ，

发现：数列 是首项为2，公比为2的等比数列．

得出：数列 的通项公式 ，进而得到 ．