Question

【题目】给定数列，记该数列前项中的最大项为，该数列后项，， …..，中的最小项为，.

（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的，，；

（2）是数列的前项和，若对任意，有，其中且，

①设，判断数列是否为等比数列；

②若数列对应的满足：对任意的正整数恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①当时，数列是等比数列，当时，数列不是等比数列；②.

【解析】

（1）根据，的定义可求相应的，，.

（2）根据题设的递推关系可得，从而得到，根据是否为零点可判断数列是否为等比数列，而根据以及，的定义可得数列的前项单调递增，故可得的取值范围.

解：（1），，；

，，；

，，.

（2）①当时，，所以；

当时，由，则，

两式相减得，即，

所以.

因为，

所以当时，，故，

所以数列满足，

即数列是以为首项，为公比的等比数列；

当时，，故，数列不是等比数列.

②由①知，当时，；

当时，.

又，

，

由于，

所以由，可得，.

所以对任意的正整数恒成立，

即数列的前项单调递增是题设成立的必要条件，易知.

因为，，

所以.

当时，由，得，解得，

此时，不符合，舍去；

当，由，得，解得，

此时，符合.

综上所述，的取值范围是.