Question

【题目】若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.

（1）已知函数具有性质，求出对应的的值；

（2）证明：函数一定不具有性质；

（3）下列三个函数：，，，哪些恒具有性质，并说明理由

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）只有恒具有性质，详见解析

【解析】

（1）由新定义可知，解指数方程；

（2）若函数具有性质，则，化简方程判断方程是否有解；

（3）要满足性质，则在定义域内存在，使得成立，分别代入三个函数判断方程是否有解.

（1）具有性质所以

即解出即

（2）证明：因为化简为此方程无解

所以函数一定不具有性质

（3）函数恒具有性质即关于的方程恒有解

①关于的方程为

可简化为所以当方程无解

所以函数不恒具有性质

②关于的方程化简为即

所以函数恒具有性质

③关于的方程为，

化简为显然方程无解.

所以函数不具有性质

综上所述三个函数中只有恒具有性质.