Question

【题目】已知函数f（x）= sin（2x+ ）+sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+ ），求函数g（x）在[﹣ ， ]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= sin（2x+ ）+sin2x

=

= sin2x+ cos2x+sin2x

= sin2x+

= sin2x+1﹣ = sin2x+ ，

∴f（x）的最小正周期T= ；

（2）解：∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+ ），

∴g（x）= sin2（x+ ）+ = sin（2x+ ）+ ，

当x∈[﹣ ， ]时，则2x+ ∈ ，

则 ≤sin（2x+ ）≤1，即 × ≤g（x） ，解得 ≤g（x）≤1．

综上所述，函数g（x）在[﹣ ， ]上的值域为：[ ，1]．

【解析】（1）利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数f（x），再由周期公式计算得答案；（2）由已知条件求出g（x）= sin（2x+ ）+ ，当x∈[﹣ ， ]时，则2x+ ∈ ，由正弦函数的值域进一步求出函数g（x）在[﹣ ， ]上的值域．