Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面底面，且，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）连接.因为底面是平行四边形，则是的中点，又因是的中点，则有，然后利用线面平行的判定定理证明.

（2）在中，因为，则，有.，再根据侧面底面，可得平面，再利用面面垂直的判定定理证明.

（3）取中点为，连接.根据，则 ，由侧面底面，则平面，即点P到面ABCD的距离为，然后根据等体积法求解.

（1）如图，

连接.因为底面是平行四边形，且是的中点，所以也是的中点.又因是的中点，

所以.因为平面，平面，

所以平面.

（2）在中，因为，

所以，则.

又因为侧面底面，交线为，而平面，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

（3）取中点为，连接.因为，为的中点，

所以，

又因为侧面底面，交线为，

所以平面.

因为，，

所以，

所以.

所以，所以三棱锥的体积

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