Question

【题目】如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，直线PC与平面AEF交于点Q.

（1）若平面平面，求证：.

（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据线面平行的判定定理证得平面，然后根据线面平行的性质定理证得.（2）先根据四点共面，结合向量的线性运算，求得，也即求得位置.建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，求得线面角的正弦值.

（1）证明：因为，平面PC，平面PCD，

所以平面PCD.又因为平面PAB，平面平面，所以.

（2）解：连接PE.

因为，

所以，

则

设，则.

因为A，E，Q，F四点共面，

所以，解得，则.

取AD的中点O，连接OC，OP，由题意可得OC，OD，OP两两垂直

如图，建立空间直角坐标系，

设，则，，，.

所以，.

设平面PCD的一个法向量为，

则，令，得，即，

所以，

所以.