Question

【题目】已知点和圆，过的动直线与圆交于、两点，过作直线，交于点．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若不经过的直线与轨迹交于两点，且.求证：直线 恒过定点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）详见解析

【解析】

（I）由题意可得是等腰三角形，即，再圆的性质和椭圆定义，即可求解的值，得出椭圆的方程；

（II）设，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，又由，整理求得解得，进而判定处直线过定点问题.

（I）由，知是等腰三角形，即.

，

点轨迹是以为焦点的椭圆，

，故，

因此点的轨迹 .

（II）设，则

联立

则①，又由知：

，

，

将①式代入并化简得：，解得.

当时，直线恒过，不满足题意；

当时，直线恒过定点.

当直线与横轴垂直时，令，，

，化简得，

解得或（舍去），，即此时也有直线过定点.

综上可知，当，直线过定点.