Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是PC的中点F．

（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）若ABCD为正方形，探究在什么条件下，二面角C﹣AF﹣D大小为60°？

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，

∵四边形ABCD为矩形，

∴O是BD的中点，

∵点E是棱PD的中点，

∴PB∥EO，

又PB平面AEC，EO平面AEC，

∴PB∥平面AEC．

（2）解：由题意知AD，AB，AP两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，

设AB=2a，AD=2b，AP=2c，

则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，2c）．

设AC∩BD=O，连结OE，则O（a，b，0），E（0，b，c）．

因为 ， ，

所以 ，所以 ∥ ，a=b，A（0，0，0），B（2a，0，0），

C（2a，2a，0），D（0，2a，0），P（0，0，2c），E（0，a，c），F（a，a，c），

因为z轴平面CAF，所以设平面CAF的一个法向量为 =（x，1，0），

而 ，所以 =2ax+2a=0，得x=﹣1，所以 =（﹣1，1，0）．

因为y轴平面DAF，所以设平面DAF的一个法向量为 =（1，0，z），

而 ，所以 =a+cz=0，得 ，

所以 =（1，0，﹣ ）∥ =（c，0，﹣a）．

cos60°= = ，得a=c．

即当AP等于正方形ABCD的边长时，二面角C﹣AF﹣D的大小为60°．

【解析】（1）连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，则PB∥EO，由此能证明PB∥平面AEC．（2）由题意知AD，AB，AP两两垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出当AP等于正方形ABCD的边长时，二面角C﹣AF﹣D的大小为60°．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．