Question

【题目】如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，是的中点，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）取的中点，连接，，据题设可得四边形是平行四边形，根据线面平行的证明定理即可得证；

（2）延长交于点，连接，根据题设条件可证明，，两两垂直，因而以O为原点，以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，即可求得平面的法向量为，根据直线与平面夹角的正弦值为直线与平面法向量夹角的余弦值即可得解

（1）证明：设点是的中点，连接，，

∵，分别是，的中点，

∴，且.

又在平行四边形中，是的中点，

∴，且，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，

∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）解：如图，延长交于点，连接，

则由（1）及知，

且是的中点，

∵是正三角形，

∴.

又在直三棱柱中，平面平面，平面平面，

∴平面，故，

所以，，两两垂直.

如图，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，.

设平面的法向量为，

则，即，解得，

∴可取.

设直线与平面的所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.