Question

直三棱柱ABC－A1B1C1中AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a． (1) 求证：B1F⊥平面ADF； (2) 求平面ADF与平面AA1B1B所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC． 又平面CC1B1B⊥ABC， 则AD⊥平面CC1B1B．B1F在平面CC1B1B内，AD⊥B1F． 在矩形CC1B1B中，tan∠C1B1F＝tan∠CFD＝， 所以∠C1B1F＝∠CFD，∠C1FB1＋∠CFD＝∠C1FB1＋∠C1B1F＝900， 因此FD⊥B1F，即证B1F⊥平面ADF；
(2)	解：延长FD，B1B交于G，则AG为所求二面角的棱．由RtΔFCD≌RtΔGBD， 所以CF＝GB＝2a．过B1作B1H⊥AG，且B1H与AG交于H．又B1F⊥平面ADF，FH⊥AG，∠B1HF为所求二面角的平面角． 由RtΔABG∽RtΔB1HG，解得B1H＝．而B1F＝＝，sin∠B1HF＝， 即所求二面角的正弦值是