Question

【题目】已知函数，为实数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设是函数的导函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）

【解析】

（1）函数求导后，分三种情况讨论，结合导函数的正负可求出函数的单调区间（2）根据不等式恒成立，分离参数可得，时恒成立，分别求出左边的最大值与右边的最小值即可.

（1）函数的定义域是.

.

（i）当时，令，得；

令，得或，

所以函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增；

（ii）当时，对任意恒成立，且不恒为0，

所以函数在上单调递增；

（iii）当时，令，得；

令，得或，

所以函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.

（2）等价于，得，得，

因为，所以.

所以不等式两边同时除以，得，

即，

得.

所以.

即对任意恒成立.

设，，，

则，.

所以函数在区间上是增函数，在区间上是增函数.

所以，.

所以.

所以实数的取值范围是.