Question

【题目】如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．

（1）求证：AB⊥平面PCB；

（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（ 1）由题设条件，易证得PC⊥AB，CD⊥AB，故可由线面垂直的判定定理证得AB⊥平面PCB；（2）由图形知，取AP的中点O，连接CO、DO，可证得∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角，在△CDO中求∠COD即可．

（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，

∴PC⊥AB．

∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，

∴CD⊥AB．又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCB．

（2）取AP的中点O，连接CO、DO．

∵PC＝AC＝2，∴CO⊥PA，CO，

∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥PA．

∴∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角．

由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，

又∵AB＝BC，AC＝2，求得BC

PB，CD

∴

cos∠COD．