Question

【题目】定义：若函数对任意的，都有成立，则称为上的“淡泊”函数.

（1）判断是否为上的“淡泊”函数，说明理由；

（2）是否存在实数，使为上的“淡泊”函数，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由；

（3）设是上的“淡泊”函数（其中不是常值函数），且，若对任意的，都有成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）是,理由详见解析；（2）存在，；（3）最小值为.

【解析】

（1）任取x1，x2∈[﹣1，1]，可得|f（x1）﹣f（x2）|的不等式，结合题意可判函数为“淡泊”函数；

（2）假设存在k∈R，使得在[﹣1，+∞）上为“淡泊”函数，则满足对任意x1，x2∈[﹣1，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，代入已知可得k的不等式，解不等式可得；

（3）不妨令0＜x1≤x2＜1，运用绝对值不等式的性质以及新定义，即可得到结论．

（1）任取x1，x2∈[﹣1，1]，可得|f（x1）﹣f（x2）|

＝|（）﹣（）|

＝|（x1+x2）（x1﹣x2）（x1﹣x2）|

＝|x1﹣x2||（x1+x2）|

∵x1，x2∈[﹣1，1]，∴（x1+x2）∈[，]，

∴（x1+x2）|∈[0，1]，即|（x1+x2）|≤1，

∴|x1﹣x2||（x1+x2）|≤|x1﹣x2|

∴|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|

∴函数在[﹣1，1]上是“淡泊”函数；

（2）假设存在k∈R，使得在[﹣1，+∞）上为“淡泊”函数，

则满足对任意x1，x2∈[﹣1，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，

故||＝|k|||≤|x1﹣x2|，

∴|k|≤|（x1+2）（x2+2）|，

∵x1，x2∈[﹣1，+∞），∴（x1+2）（x2+2）＞1，

∴|k|≤1，解得﹣1≤k≤1；

（3）不妨令0＜x1≤x2＜1，由“淡泊”函数性质，有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，

若x2﹣x1，则|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|；

若x2﹣x1，|f（x1）﹣f（x2）|＝|f（x1）﹣f（0）+f（1）﹣f（x2）|

≤|f（x1）﹣f（0）|+|f（1）﹣f（x2）|≤|x1﹣0|+|1﹣x2|＝1﹣x2+x1＝1﹣（x2﹣x1），

综上，对任意0＜x1≤x2＜1，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，

而对任意的，都成立，则

∴,即的最小值为．