Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是线段BC的中点．

（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，

所以分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），

因为D是BC的中点，所以D（1，2，0），

因为 ，设平面A1C1D的法向量 ，

则 ，即 ，取 ，

所以平面A1C1D的法向量 ，而 ，

所以 ，

所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为

（2）解： ， ，

设平面B1A1D的法向量 ，

则 ，即 ，

取 ，平面B1A1D的法向量 ，

所以 ，

二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值 ．

【解析】（1）分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．（2）求出平面B1A1D的法向量和平面B1A1D的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．