Question

【题目】已知函数（）

（1）讨论函数的单调性；

（2）记是的导数，若当，时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.

【解析】

（1）求出，然后分、、三种情况讨论即可；

（2）当时，，设，则，设，则，显然在区间上单调递增，且，然后分、两种情况讨论即可得到答案.

（1）由，得.

①当时，若，则；若，则，

所以恒成立，即时，单调递增.

②当时，若，则，单调递增；

若，则，单调递减.

若，则，单调递增.

③当时，若，则，单调递增；

若，则，单调递减；

若，则，单调递增.

（2）当时，.

设，则.

设，则，

显然在区间上单调递增，且.

①当时，因为在区间上恒成立，所以在区间上单调递增.

又因为，所以当时，，即在区间上恒成立，从而在区间上单调递增.

又因为，所以当时，，即，这时，符合题意.

②当时，因为，所以，使得在区间上恒成立，这时在区间上单调递减.

又因为，所以当时，，

即在区间上恒成立，从而在区间上单调递减.

又因为，所以当时，，即，这时，不符合题意.

综上，实数的取值范围为.