Question

【题目】已知椭圆的离心率，椭圆上的点到其左焦点的最大距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点，直线，过点作直线的垂线与直线交于点，求的最小值和此时直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值为，此时直线的方程为．

【解析】

（1）根据椭圆上的点到其左焦点的最大距离为，得到，再由，联立求解即可.

（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可分别求导T，A，B的坐标，然后利用两点间距离公式求解；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，利用弦长公式求得，再由，求得交点，从而得到，代入求解.

（1）由题可知，又椭圆上的点到其左焦点的最大距离为，

所以，

所以，，

∴，

所以椭圆的方程为．

（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，

所以，，此时；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，

由，

得，

由韦达定理得，，

则，

联立，可得，

所以

所以.

因为所以等号不成立．

综上，的最小值为，此时直线的方程为．