Question

【题目】已知定义域为R的奇函数，满足，则下列叙述正确的为（ ）

①存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根

②当时，恒有

③若当时，的最小值为1，则

④若关于的方程和的所有实数根之和为零，则

A.①②③B.①③C.②④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

对于①，当时，直线与函数在第一象限有3个零点，关于x的方程有7个不相等的实数根，所以①正确；

对于②，当时，函数不是单调函数，所以②不正确；

对于③，令所以，则，所以③正确；

对于④，通过数形结合分析得到其是错误的.

对于①，函数的图象如图所示，由于函数是奇函数，所以只要考查的零点个数，

由于，所以只要考虑的零点有3个即可.

由题得，所以直线的斜率为，此时直线与函数的图象有5个交点，当时，直线与函数在第一象限有3个零点，关于x的方程有7个不相等的实数根，所以①正确；

对于②，当时，函数不是单调函数，所以不成立，所以②不正确；

对于③，令所以，当时，的最小值为1，则，所以③正确；

对于④，由于函数是奇函数，关于的方程和的所有实数根之和为零，

当时，有三个实根，，

则，

所以的所有实数根之和为.

令所以错误.

故选：B.