Question

【题目】若函数和同时在处取得极小值，则称和为一对“函数”.

（1）试判断与是否是一对“函数”；

（2）若与是一对“函数”.

①求和的值；

②当时，若对于任意，恒有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）与不是一对“P(1)函数”，详见解析（2）①或.②

【解析】

（1）利用“函数”定义证明函数与不是一对“函数”；（2）①对a分a＞0，a＜0和a=0三种情况讨论，利用“函数”的定义求出和的值；② 原命题等价于，构造函数求其最大值得解.

解:令.

(1)则，

因为与是一对“P(1)函数”

所以，所以.

此时，因，无极小值，

故与不是一对“P(1)函数”.

(2)①， ，

，，

若与是一对“函数”，

由，得，

1.若，则有

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

因为在处取得极小值，所以，

从而，

经验证知在处取得极小值，所以，

2.当时，则有

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

因为在处取得极小值，所以；

从而，

令，

在是减函数，且，所以，从而

经验证知在处取得极小值，所以

3.当时，，是增函数，无极小值，与题设不符.

综上所述：或.

②因为，由①之结论知，，

易见，

故不等式等价于：，

令，则.

因为，所以单调递减，

所以，从而.