Question

【题目】已知椭圆.双曲线的实轴顶点就是椭圆的焦点，双曲线的焦距等于椭圆的长轴长.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设直线经过点与椭圆交于两点，求的面积的最大值；

（3）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在，

【解析】

（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可；

（2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理；

（3）根据直线与两个曲线相交，通过夹逼出的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到之间的关系，从而利用是整数，对结果进行取舍即可.

（1）对椭圆，因为，

故其焦点为，椭圆的长轴长为.

设双曲线方程为，

由题可知：，解得.

故双曲线的方程为：.

（2）因为直线AB的斜率显然不为零，

故设直线方程为，联立椭圆方程

可得

设交点，

则

则

又

故

令，解得

故

当且仅当时，即时，取得最大值.

故的面积的最大值为.

（3）联立直线与椭圆方程

可得

整理得 ①

设直线与椭圆的交点为

故可得 ②

同理：联立直线与双曲线方程

可得

整理得 ③

设直线与双曲线的交点为

故可得 ④

要使得

即可得

故可得

将②④代入可得

解得.

综上所述，要满足题意，只需使得：

故当时，可以取得满足题意；

即直线方程可以为

当时，可以取满足题意.

即直线方程可以为

故存在这样的直线有9条，能够使得.