Question

已知数列a_n的相邻两项a_n，a_n+1满足an+an+1=2n，且a₁=1
（1）求证an-

1

3

×2n是等比数列
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an+an+1=2n，得an+1-

1

3

×2n+1=-（an-

1

3

×2n），由此能证明数列{an-

1

3

×2n}是等比数列．
（2）由an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，知S_n=

1

3

{（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[-（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}，由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n．

解答：解：（1）由an+an+1=2n，
得an+1-

1

3

×2n+1=-（an-

1

3

×2n），
故数列{an-

1

3

×2n}是首项为a1-

2

3

=

1

3

，公比为-1的等比数列．
（2）由（1）知an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，
即an=

1

3

[2n-(-1)n]，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=

1

3

{（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[-（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}
=

1

3

（2ⁿ⁺¹-2-

(-1)n-1

2

）
=

1

3

•2n+1-

1

6

（-1）ⁿ-

1

2

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．