Question

【题目】已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．

（1）当时，求的最大值；

（2）若在区间上的最大值为，求的值；

（3）设，若，对于任意的两个正实数，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）最大值为﹣1；（2）a=﹣e2；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．

（2）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．

（3）先求导，再求导，得到g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1，构造函数，利用导数即可证明.

试题解析：

（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），

当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，，

令f′（x）=0，得x=1．

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．

f（x）max=f（1）=﹣1．

∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，

（2）∵．

①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，

∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，

②若，则由，即

由，即，

从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数

∴

令，则，

∴a=﹣e2，

（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0

∴，

∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1

令，/p>

∴，

∵，

∴

而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0

故h（x2）＞0，

即.