Question

【题目】已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1． （Ⅰ）若3是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；
（Ⅱ）当0＜a＜1且t=1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若函数F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在区间（﹣1，3]上有零点，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵3是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解， ∴loga4﹣2loga（6+t）=0，
∴2=（2+t）2 ，
∴t=﹣4．
（Ⅱ）当0＜a＜1且t=1时，不等式f（x）≤g（x）化为 ，∴﹣
∴解集为：{x|﹣ }；
（Ⅲ）F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1
=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，
令tx2+x﹣2t+2=0，
即t（x2﹣2）=﹣（x+2），
∵x∈（﹣1，3]，∴x+2∈（1，5]，
∴t≠0，x2﹣2≠0；
∴ =﹣[（x+2）+ ]+4，
∵2 ≤（x+2）+ ≤ ，
∴﹣ ≤﹣[（x+2）+ ]+4≤4﹣2 ，
∴t≤﹣ 或t≥ ．
【解析】（Ⅰ）由题意得loga4﹣2loga（6+t）=0，从而解得t的值；（Ⅱ）由题意得loga（x+1）≤2loga（2x+1），由对数函数的单调性可得，从而得 解．（Ⅲ）化简F（x）=tx2+x﹣2t+2，从而令tx2+x﹣2t+2=0，讨论可得 =﹣[（x+2）+ ]+4，从而得解．