Question

【题目】如图，△是边长为2的正三角形，平面，∥，．

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.

（2）

【解析】分析：(1)先取边的中点，的中点为，根据三角形中位线性质得四边形为平行四边形，即得∥．再根据正三角形性质得 ，即得 .又根据平面，∥，易得 , 即得 .由线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先求三棱锥体积，再根据等体积法求点到平面的距离．

详解：（1）取边的中点，的中点为，

连接，，，则 ．

因为是△的中位线，由题设

∥，且，所以四边形为平行四边形，于是∥．

因为平面，所以 ，

所以 ，故平面．

所以平面，又面，

故平面平面．

（2）由（1），△面积为2，所以三棱锥的体积为．

由（1），，△面积为2．

设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为．

因为三棱锥与三棱锥的体积相等，所以，即点到平面的距离为．