Question

在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若S_m,S_m+2,S_m+1成等差数列，则a_m,a_m+2,a_m+1成等差数列.

(1)写出这个命题的逆命题；

(2)判断逆命题是否为真，并给出证明.

Answer 1

解：（1）逆命题：在等比数列 {a_n}中，前n项和为S_n，若a_m,a_m+2,a_m+1成等差数列，则S_m,S_m+2,S_m+1成等差数列；

（2）设{a_n}的首项为a₁，公比为q，则2a_m+2=a_m+a_m+1，于是2a₁q^m+1=a₁q^m-1+a₁q^m.

由a₁≠0,q≠0，化简上式得2q²-q-1=0，

解得q=1或q=-,

当q=1时，∵S_m=ma₁,S_m+2=(m+2)a₁,S_(m+1)=（m+1）a₁,

∴S_m+S_m+1≠2S_m+2,

即S_m,S_m+2,S_m+1不成等差数列；

当q=-时,∵S_m+S_m+1=

而2S_m+2=，

∴S_m+S_m+1=2S_m+2，即S_m,S_m+2,S_m+1成等差数列；

综上得，当公比q=1时，逆命题为假，当q=-时，逆命题为真.