Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若，且方程有两个不相等的实数根，求证： .

Answer 1

【答案】(1) (2) 得单增区间为， 无减区间

（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，它是切线的斜率，而切点为，因此切线方程为： .（2）函数的定义域为，而，构建新函数，可以证明在上， ，因此函数的单调增区间为： ， ，无减区间.（3）化简得到，其导数为，通过导数的符号讨论可以得到： 在上单减函数，在上单增函数，构造新函数，可以证明当，总有，从而有，最后根据的单调性得也就是.

解析:（1）因为，所以切点为.因为，所以切线的斜率为,所以，所求的切线方程为即.

（2）的定义域为，由（1) 知，记，则，

当时， ， 在上是减函数；当时， ， 在上是增函数.

所以在上的最小值为，所以恒成立，所以的单增区间为， ，无减区间.

（3）， ，

当， 在上单减函数；

当时， ， 在上单增函数.

又当时， ，当时， ，所以可设

构造函数，则

当时， ，则， 在上单调递减，又，

所以，由，得，

所以，又， 在上单调递増，所以，即，故.