Question

【题目】已知四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一动点，点是的中点．

（1）求证：；

（2）若，问是否存在点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析，（2）存在，点E为的中点

【解析】

（1）由平面平面，，可证得平面，而 在平面内，所以；

（2）如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

（1）证明：因为平面平面，，

平面平面， 在平面内，

所以平面，

因为 在平面内，所以；

（2）因为，，

所以，所以，所以,

因为平面平面，平面平面，

所以平面,

所以,

因为,

所以平面,所以,

因为， ，所以,

所以,,

所以，

如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，

设，则

因为为棱上一动点在上，所以设，

所以，解得，

所以，,

设平面的法向量为，则,

所以

得，令，则，

所以

设平面的法向量为，则

所以，

令，则，得，

所以，

所以，

解得，

所以当点E在的中点时，二面角的余弦值为