Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形，PA∥CE，AB=CEPA，PA⊥平面ABCD.

（1）证明：PE⊥平面DBE；

（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

（1）连结AC，推导出BD⊥AC，PA⊥BD，PA⊥AD，从而BD⊥平面APEC，进而BD⊥PE，推导出PE⊥DE，由此能证明PE⊥平面DBE.

（2）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣E的正弦值.

（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AD，

∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面APEC，∵PE平面APEC，

∴BD⊥PE，设AB=1，则AD=1，PA=2，∴PD，

同理解得DE，在梯形PACE中，解得PE，

∴PE2+DE2=PD2，∴PE⊥DE，∵BD∩DE=D，

∴PE⊥平面DBE.

（2）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

令AB=1，则CE=1，AP=2，

∴P(0，0，2)，E(1，1，1)，D(1，0，0)，B(0，1，0)，

(﹣1，﹣1，1)，(﹣1，0，2)，(0，﹣1，2)，

(1，﹣1，0)，设平面DPE的法向量(x，y，z)，

则，取z=1，得(2，﹣1，1)，

设平面BPD的法向量(a，b，c)，

则，取c=1，得(2，2，1)，

设二面角B﹣PD﹣E的平面角为θ，

则，

∴二面角B﹣PD﹣E的正弦值sinθ.