Question

【题目】已知椭圆 的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且，求直线的斜率的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）利用右焦点为，求出,得到,通过点, 在椭圆上，得到，求出 、的值可得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，点 ，由得，利用韦达定理以及 ，结合判别式的符号，可求解的范围.

试题解析：(1) 由题意得：

因为 点 在椭圆C上 解得：

椭圆方程为.

（2）设直线的方程为，点，点

由得

，

由得或，

即

，

解得，的取值范围是或.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.