Question

【题目】某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中AB＝40，BC＝15，O为AB上一点，且BO＝10，线段OC、OD、MN为表演队列所在位置（M、N分别在线段OD、OC上），△OCD内的点P为领队位置，且P到OC、OD的距离分别为、，记OM＝d，我们知道当△OMN面积最小时观赏效果最好．

（1）当d为何值时，P为队列MN的中点；

（2）怎样安排M的位置才能使观赏效果最好？求出此时△OMN的面积．

Answer 1

【答案】(1)．(2) M，N，P 三点共线，面积为．

【解析】

1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，OC：y＝1.5x；OD：y＝﹣0.5x，设P（a，b），M（﹣2m，m），N（n，1.5n），（m＞0，n＞0），求解即可

（2）通过推出，利用基本不等式以及三角形面积公式即可

（1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则C（10，15），B（10，0），D（﹣30，15），P（﹣4，4）．OC：y＝1.5x；OD：y＝﹣0.5x，

设P（a，b），M（﹣2m，m），N（n，1.5n），（m＞0，n＞0），

P到OC、OD的距离分别为、，联立解方程组，得，

∵P为MN的中点，所以，得m，n，所以，

∴d＝|OM|．

（2）由M，N，P 三点共线，得，5m+6.5n＝4mn，即，

S△OMN，

（2m+n），当且仅当5n2＝13m2成立，

所以△OMN面积最小为．