Question

【题目】已知数列的前项和为，且满足，，设，.

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）若，，求实数的最小值；

（Ⅲ）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成（，且，）的形式，则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）；（III）为指数型和.

【解析】

（I）通过计算证明证得，来证得数列是等比数列.

（II）利用求得数列的通项公式，由，，求得的最小值.

（III）先求得的通项公式，对分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，根据“指数型和”的定义，求出符合题意的“指数型和”.

（I），.由于，当时，，所以数列是等比数列.，.

（II）由（I）得，，所以.因为，.当时，

，，而，所以，即，化简得，由于当时，单调递减，最大值为，所以

，又，所以的最小值为.

（III）由（I）当时，，当时，.也符合上式，所以对正整数都有.由，（且），只能是不小于的奇数.

①当为偶数时，，由于和都是大于的正整数，所以存在正整数，使得，，所以，且，相应的，即有，为“指数型和”；

② 当为奇数时，，由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以不成立，此时没“指数型和”.

综上所述，中的项存在“指数型和”，为.