Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面， ， ， ， ， ．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若点在棱上，且平面，求线段的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析． （Ⅱ）．（Ⅲ）．

【解析】试题分析：第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论，注意在书写的时候条件不要丢就行；第二问建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值；第三问利用向量共线的关系，得出向量的坐标，根据线面平行得出向量垂直，利用其数量积等于零，求得结果.

（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，

且平面平面，

因为⊥，且平面

所以⊥平面．

因为平面，

所以⊥．

（Ⅱ）解：在△中，因为， ， ，

所以，所以⊥．

所以，建立空间直角坐标系，如图所示．

所以， ， ，

， ，

， ．

易知平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，

则， 即，

令，则．

设二面角的平面角为，可知为锐角，

则，

即二面角的余弦值为．

（Ⅲ）解：因为点在棱，所以， ．

因为，

所以， ．

又因为平面， 为平面的一个法向量，

所以，即，所以．

所以，所以．