Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的零点.

（2）当，求函数在上的最大值；

（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数的表达式.

Answer 1

【答案】（1）零点为和1.（2）.（3）

【解析】

（1）分类讨论得到解析式，分别在和两种情况下构造方程求得零点；

（2）分类讨论得到解析式，可确定最大值在中取得，分别在、和三种情况下根据函数单调性确定最大值，从而得到结果；

（3）将问题转化为恒成立的问题；分别在和两种情况下确定的值，从而得到结果.

（1）当时，，

令，解得：或（舍）；

令，解得：；

函数的零点为和；

（2）由题意得：，其中，

，最大值在中取.

当，即时，在上单调递减，；

当，即时，在上单调递增，上单调递减，

；

当，即时，在上单调递减，上单调递增，

；

，；

综上所述：；

（3）时，，，，

问题转化为在给定区间内恒成立.

，分两种情况讨论：

当时，是方程的较小根，

即时，；

当时，是方程的较大根，

即时，；

综上所述：.