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    【题目】给定平面上的点集，中任三点均不共线。将中所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连，不在同一组的两点不连线段，这样得到一个图案。不同的分组方式得到不同的图案。将图案中所含的以中的点为顶点的三角形的个数记为。

    （1）求的最小值；

    （2）设是使的一个图案，若将中的线段（指以的点为端点的线段）用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色。证明存在一个染色方案，使染色后不含以的点为顶点的三边颜色相同的三角形。

    【答案】（1）168544；（2）见解析

    【解析】

    显然，每个图案由的点的分组方法唯一确定.

    （1）设，由分组，，…，得到，其中为第组的点构成的集合，，2，…，83.

    令，则有，且.

    下证当时，有.

    事实上，若存在，使得，不妨设，则作的点的分组，，…，（为第组的点构成的集合，），使得

    这样的分组显然存在.于是，对于由分组，，…，得到的图案，有

    .

    而

    .

    ∵.

    ∴.

    ∴.这与的最小性相矛盾.

    ∵，

    ∴.

    （2）设图案由分组，，…，得到，这里表示第组的点构成的集合.由（1）不妨设，.下面给出的一个染色方法，使得用四种不同颜色染后不含三边颜色相同的三角形.

    我们将集合及所连线段构成的图形称为的第块，记为，，2，…，83.对于，令，使得，.将每个子集中任两点所连线段用图（1）所示的方法去染，将不同子集与之间所连线段用途（2）所示的方法去染，图中，，，分别代表四种不同的颜色，这样染后的显然不含三边颜色相同的三角形.

    对于，可用染的方法去染，至于的染法，可先加一点并将该点与原来的24点各连一条线段，染后按的染法染好后，再把加的一点及与该点所连的线段去掉，这样染后的也不含三边颜色相同的三角形.

    综上可知，结论成立.

    练习册系列答案
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