Question

【题目】如图，三棱锥中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在上，．

（1）证明：平面平面；

（2）证明：平面；

（3）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）利用余弦定理计算出，由勾股定理可得出，再由平面，可得出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面，然后利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面平面；

（2）证法一：过点作交于点，取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

证法二：取中点，连接、，证明平面平面，即可得出平面；

（3）过点作，垂足为，在直角中过点作，垂足为，证明出平面，可知二面角的平面角为，计算出中的和，然后利用锐角三角函数的定义求出即可.

（1）在中，由余弦定理得，

即，解得，，则，.

因为平面，平面，所以.

，、平面，平面.

平面，平面平面；

（2）证法一：过点作交于点，取的中点，连接、．

点为的中点，为的中点，，．

又是的中点，是的中点，点在上，，且，

，，且，

所以四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面；

法二：取中点，连接、，

、分别为、的中点，.

平面，平面，平面.

为的中点，为的中点，，则，

，即，，.

平面，平面，平面.

因为，所以平面平面，

平面，所以平面；

（3）过点作，垂足为，在平面内过点作，垂足为，

平面，平面，，

，，平面，

平面，，

，，平面，

平面，，则为二面角的平面角，

由等面积法可得，

平面，平面，，

在中，，，，

由等面积法得，则.

因此，二面角的正弦值为.