Question

【题目】已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．

（Ⅰ）求椭圆P的方程；

（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；

（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由题意布列关于a，b的方程组，即可得到结果；

（2）由与垂直得,结合点在曲线上，可得M点坐标，结合两点间距离公式可得结果；

（3）设，，由题意，设直线的方程为，利用韦达定理即可得到结果.

（1）因为，所以

因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，

所以 ,

又 ,

所以 ，

所以椭圆方程为 .

（2）方法一：

设,

， ,

,

,

，（舍）

所以.

方法二：

设，

因为与垂直，

所以点在以为直径的圆上，

又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为,

，

，（舍）

所以

方法三：

设直线的斜率为， ，其中

化简得

当时，

得 ，

显然直线存在斜率且斜率不为0.

因为与垂直，

所以 ,

得，， ,

所以

（3）直线恒过定点,

设，，

由题意，设直线的方程为，

由 得，

显然，，则，，

因为直线与平行，所以，

则的直线方程为，

令，则，即 ,

，

直线的方程为,

令，得,

因为，故，

所以直线恒过定点.