Question

【题目】已知函数是定义在上的偶函数.当时， .

(1) 求曲线在点处的切线方程；

(2) 若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）根据是偶函数，当时， ，可得当时， ， ，求出可得切线斜率，求出,可得切点坐标，由点斜式可得切线方程；（2）令，则原命题等价于， 恒成立， 即恒成立，设，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值为，从而可得实数的取值范围为.

试题解析：因为为偶函数，所以，

当时，则，故 ，所以，

从而得到， ，

（1）当时， ，所以

所以在点的切线方程为： ，即

（2）关于的不等式恒成立，即 恒成立

令，则原命题等价于， 恒成立，

即恒成立，

记， ，

当时， ，则递增；当时， ，则递减；

所以，当时， 取极大值，也是最大值，

所以，

即实数a的范围为 .

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值、不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.