【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求实数的取值范围,并证明.
【答案】(1)见解析(2),证明见解析
【解析】
(1)先求导可得,分别讨论和的情况,进而求解即可;
(2)设,当时由单调则不符合题意;当时,,可得,利用零点存在性定理可判断,,进而求解即可;由于,可得,,则,设可得,进而证明在时恒成立即可
(1)由题意得,
①当时,,所以在上单调递增;
②当时,由,得,
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
(2)由于有两个零点,不妨设,
由(1)可知,当时,在上单调递增,不符合题意;
当时,,,即,解得,
此时有,所以存在,使得,
由于,所以在上单调递增,
所以当时,,所以在上单调递增,
所以当时,;
所以,
所以存在,使得,
综上,当时,有两个零点.
证明:由于,,且,则,
所以,,所以,
设,有,则,
要证,只需证,即证,
设,则,
所以在上单调递增,所以当时,,即,
故
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【题目】如图,设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
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【题目】年年初,新冠肺炎疫情防控工作全面有序展开.某社区对居民疫情防控知识进行了网上调研,调研成绩全部都在分到分之间.现从中随机选取位居民的调研成绩进行统计,绘制了如图所示的频率分布直方图.
求的值,并估计这位居民调研成绩的中位数;
在成绩为,的两组居民中,用分层抽样的方法抽取位居民,再从位居民中随机抽取位进行详谈.记为位居民的调研成绩在的人数,求随机变量的分布列.
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【题目】已知曲线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的参数方程化为普通方程,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)曲线,是否相交?若相交,请求出公共弦长;若不相交,请说明理由.
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【题目】已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为(为参数),直线与曲线相交于两点.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
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