Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2），证明见解析

【解析】

（1）先求导可得,分别讨论和的情况,进而求解即可；

（2）设,当时由单调则不符合题意；当时,,可得,利用零点存在性定理可判断,,进而求解即可；由于,可得,,则,设可得,进而证明在时恒成立即可

（1）由题意得,

①当时,,所以在上单调递增；

②当时,由,得,

当时,,在上单调递减；

当时,,在上单调递增.

（2）由于有两个零点,不妨设,

由（1）可知,当时,在上单调递增,不符合题意；

当时,,,即,解得,

此时有,所以存在,使得,

由于,所以在上单调递增,

所以当时,,所以在上单调递增,

所以当时,；

所以,

所以存在,使得,

综上,当时,有两个零点.

证明:由于,,且,则,

所以,,所以,

设,有,则,

要证,只需证,即证,

设,则,

所以在上单调递增,所以当时,,即,

故