Question

如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC

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AD，BE

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AF，G、H分别是FA、FD的中点．
（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（Ⅱ）C、D、E、F四点是否共面？为什么？

Answer 1

分析：（I）欲证明：四边形BCHG是平行四边形，通过三角形中位线定理证得其一组对边平行且相等即可；
（II）C，D，F，E四点共面．理由是：由EF∥BG，结合（Ⅰ）知BG∥CH，所以EF∥CH，从而共面．

解答：证明：（Ⅰ）由题意知，FG=GA，FH=HD
所以GH

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AD，又BC

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AD，故GH

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BC
所以四边形BCHG是平行四边形．
（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BE

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AF，G是FA的中点知，BE

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GA，即有BE

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GF，所以四边形BEFG是平行四边形，
所以EF∥BG
由（Ⅰ）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．
又点D在直线FH上
所以C，D，F，E四点共面．

点评：本小题主要考查平面的基本性质及推论、确定平面的条件、共面的证明方法、平行四边形的特征等基础知识，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．