【题目】如图,已知三棱柱,平面平面,,分别是的中点.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)由题意首先证得线面垂直,然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直;
(2)建立空间直角坐标系,分别求得直线的方向向量和平面的法向量,然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
(1)如图所示,连结,
等边中,,则,
平面ABC⊥平面,且平面ABC∩平面,
由面面垂直的性质定理可得:平面,故,
由三棱柱的性质可知,而,故,且,
由线面垂直的判定定理可得:平面,
结合平面,故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC,以点E为坐标原点,EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设,则,,,
据此可得:,
由可得点的坐标为,
利用中点坐标公式可得:,由于,
故直线EF的方向向量为:
设平面的法向量为,则:
,
据此可得平面的一个法向量为,
此时,
设直线EF与平面所成角为,则.
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【题目】已知点,圆,点是圆上一动点, 的垂直平分线与交于点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线,过点且斜率不为0的直线与交于两点,点关于轴的对称点为,证明直线过定点,并求面积的最大值.
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【题目】自由购是一种通过自助结算购物的形式.某大型超市为调查顾客自由购的使用情况,随机抽取了100人,调查结果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率;
(Ⅱ)从被抽取的年龄在使用的自由购顾客中,随机抽取2人进一步了解情况,求这2人年龄都在的概率;
(Ⅲ)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋?
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【题目】浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目,成绩计入高考总分.已知报考某高校、两个专业各需要一门科目满足要求即可,专业:物理、化学、技术;专业:历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.(用数字作答)
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【题目】已知A,B两点都在以PC为直径的球O的表面上,AB⊥BC,AB=2,BC=4,若球O的体积为,则三棱锥P-ABC表面积为___________.
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【题目】中国改革开放以来经济发展迅猛,某一线城市的城镇居民2012~2018年人均可支配月收入散点图如下(年份均用末位数字减1表示).
(1)由散点图可知,人均可支配月收入y(万元)与年份x之间具有较强的线性相关关系,试求y关于x的回归方程(系数精确到0.001),依此相关关系预测2019年该城市人均可支配月收入;
(2)在2014~2018年的五个年份中随机抽取两个数据作样本分析,求所取的两个数据中,人均可支配月收入恰好有一个超过1万元的概率.
注:,,
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