Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆交于轴上方的，两点，且.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）（ⅰ）求直线的斜率；

（ⅱ）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 离心率;(2) ,.

【解析】分析：(1)由得，化为，从而可得结果；(2) (i)由(1)可设圆的方程可写，设直线AB的方程为，联立，结合点B为线段AE的中点可得，，从而可得结果；(ii)由(i)可知

当时，得，由已知得，求出外接圆方程与直线的方程，联立可得结果.

详解：(1)由得，

从而

整理，得，

故离心率

(2) 解法一：(i)由（I）得，所以椭圆的方程可写

设直线AB的方程为，即.

由已知设，则它们的坐标满足方程组

消去y整理，得.

依题意，

而 ①

②w

由题设知，点B为线段AE的中点，所以

③

联立①③解得 ，

将代入②中，解得.

解法二：利用中点坐标公式求出，带入椭圆方程

消去，解得 解出

(依照解法一酌情给分)

(ii)由(i)可知

当时，得，由已知得.

线段的垂直平分线l的方程为

直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.

直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组

，

由解得故