Question

【题目】如图 1，在直角梯形中， ，且．现以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直， 为的中点，如图 2．

（1）求证： 平面；

（2）求证： 平面；

（3）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：

(1)取EC中点N，连结MN,BN.由几何关系可证得四边形ABNM为平行四边形.则BN∥AM，利用线面平行的判定定理可得平面；

(2) 由几何关系有ED⊥AD，利用面面垂直的性质定理可得ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，利用直角梯形的性质结合勾股定理可得BC⊥BD，据此由线面垂直的判定定理有平面；

(3) 作平面PEC于点H，连接CH,则∠DCH为所求的角，利用三棱锥体积相等转化顶点有： ，据此可求得，利用三角函数的定义可得与平面所成角的正弦值是.

试题解析：

(1)证明：取中点，连结.

在中， 分别为的中点，

所以,且.

由已知,

所以四边形为平行四边形.

所以.

又因为平面,且平面，

所以平面.

(2)证明：在正方形中， ,

又因为平面平面，且平面平面,

所以平面.

所以

在直角梯形中， ,可得.

在中， .

所以.

所以平面.

(3)作于点，连接,则为所求的角

由(2)知，

所以,又因为平面

又.

所以，

.