Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，，且存在不相等的实数，使得，求证且．

Answer 1

【答案】（1）函数单调性见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）分别在和两种情况下讨论导函数的正负，进而得到函数的单调性；

（2）当时，可通过放缩知，知其不符合题意，得到；由和时，可得到，将所证不等式化为，令，利用导数可求得，进而证得结论.

（1）由题意得：定义域为，，

令，则，

①当，即时，，，

在上单调递增；

②当，即时，

令，解得：，，

当时，，

当和时，；当时，，

在，上单调递增，在上单调递减；

当时，，在上恒成立，

在上单调递增；

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.

（2）由题意得：，则；

当时，，

在上单调递增，与存在不相等的实数使得相矛盾，

.

由得：，

，

不妨设，

令，则，

在上单调递增，，即，

，

，，

欲证，只需证，只需证，

即证，

令，则只需证，即证，

令，

则，

在上单调递减，，从而得证，

.