Question

【题目】某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：

	0
	0	1	0		0
	0		0		0

(1)请写出上表的及函数的解析式；

(2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式及的单调递增区间；

(3)在(2)的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点个数的值.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

（3）.

【解析】

（1）根据表中数据可得关于的方程组，解出的值后可得的值，再由表中数据可得，从而可得函数的解析式.

（2）先求出的解析式，再求出的定义域，结合三角函数的单调性可得复合函数的单调增区间.

（3）令，设方程的根为，分①；②；③三种情况讨论在及上零点个数，再根据周期性得到的零点个数，结合题设条件可得的值及相应的零点个数.

（1）根据表中的数据可得 ，解得，

故，所以，又，故.

所以.

（2）将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为：

，

再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，

故.

此时，

令，则，故.

当时，为增函数，

故为减函数；

当时，为减函数；

故为增函数.

所以的增区间为.

(3)，的周期为，

当时，令，考虑方程的根情况，

因，故在必有两个不同的实数根，

因为在有奇数个零点，故或.

若，则方程、在共有4个不同的实数根，

在有0个实数根或2个实数根，

故在有个根或个根，

与有奇数个零点矛盾，舍去.

若，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根，

故在有

个根或，

与有奇数个零点矛盾，舍去.

同理也不成立，所以或，

若，则，，

方程、在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解，

所以在有个根，符合要求；

若，则，，

方程、在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根，

所以故在有个根，与题设矛盾，舍去.

综上，，在共有个不同的零点.