Question

【题目】如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱和底面垂直）的所有棱长都为2，为的中点，O为中点.

（1）求证：平面.

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1)推导出,,,由此能证明平面.

(2)设中点为,取O为原点,分别取,,为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.

证明：（1）∵是正三角形,O为中点,∴,

∵在正三棱锥中,平面平面,

平面平面,

∴平面,∴,

∵正方形中,,

∴,

∴,

∵,∴平面.

解：（2）设中点为,

由（1）知可取O为原点,分别取,,为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,

则,,,,,

,,,

∵平面.∴是平面的一个法向量,

设平面的法向量,

则,取,得,

设平面与平面所成锐二面角为,

则,

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.