Question

【题目】设、为双曲线上的两点，为线段的中点，线段的垂直平分线与双曲线交于、两点

（1）确定的取值范围

（2）试判断、、、四点是否共圆？并说明理由

Answer 1

【答案】(1) (2) 答案见解析.

【解析】

（1）依题意，可设

代入双曲线方程并整理得：

①

设点，则、为方程①的两个不同实根，于是，

②且，

又为线段的中点，因此，

，

故

将代入式②得：，

又为线段的垂直平分线，故：，

将上式代入双曲线方程并整理得：③

由题意，知方程③也有两个不同实根，

则，

又，故.

（2）设点，，线段的中点为，

则、为方程③的两个根，

于是，，

故，，

从而，由弦长公式得：

，

又方程①即，

类似地，

显然，，

又为线段的垂直平分线，

假设存在，使得、、、四点共圆则必为该圆的直径其圆心为点，

又点到直线的距离为，

由勾股定理得：

，

又，则，

故当时，、、、四点均在以为圆心、为半径的圆上.