Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C与X轴负半轴交于点A，直线过定点（﹣1，0）交椭圆于M，N两点，求△AMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意a=2b，

又2a=4，所以a=2，b=1

椭圆方程为

（2）解：A点坐标为（﹣2，0），直线MN过定点（﹣1，0），

∴令直线MN的方程为x=my﹣1，

联立 ，消去x得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0，

∴ ， ，

= = ，

令t=m2+3，t≥3，

∴ ，

当且仅当t=m2+3=3即m=0时，△AMN面积的最大值为

【解析】（1）由题意a=2b，根据椭圆C上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4，利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求椭圆C的方程；（2）设直线MN：x=my﹣1，联立椭圆方程，消去x，运用韦达定理，再由△AMN面积为S= |AD||y1﹣y2|，代入化简整理，再由对勾函数的性质，即可得到最大值．