Question

【题目】若定义在R上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈R，都有：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1；
②当x＜0时，f（x）＞1．
（Ⅰ）试判断函数f（x）﹣1的奇偶性；
（Ⅱ）试判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若不等式f（a2﹣2a﹣7）+ ＞0的解集为{a|﹣2＜a＜4}，求f（5）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令y=﹣x，f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1x=y=0得f（0）=1
即f（﹣x）﹣1=﹣[f（x）﹣1]，
∴f（x）﹣1是奇函数．
（Ⅱ）任取x1 ， x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2 ， 则f（x2）﹣f（x1）=f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1﹣f（x1）=f（x2﹣x1）﹣1
又x1﹣x2＜0．则f（x1﹣x2）＞1，
∴f（x1﹣x2）﹣1＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＜0
即：f（x2）＜f（x1）．
∴f（x）在（﹣∞，∞）上单调递减．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知：a2﹣2a﹣7＜m的解集为（﹣2，4），
∴m=1．即： ．
∴f（2）=﹣2f（4）=﹣5
【解析】（Ⅰ）令y=﹣x，f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1x=y=0得f（0）=1，再由函数奇偶性的定义验证f（﹣x）﹣1与﹣[f（x）﹣1]的关系，即可；（Ⅱ）任取x1 ， x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2 ， 求f（x2）﹣f（x1）的差的符号，有定义法判断出单调性；（Ⅲ）由题设，将 ，再由单调性得出不等式，求出参数，再求函数值．