Question

使函数f(x)=sin(2x+θ)+

3

cos(2x+θ)是奇函数，且在[0，

π

4

]上是减函数的θ的一个值是（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  2π

  3

• C、

  4π

  3

• D、

  5π

  3

Answer 1

分析：利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 2sin（2x+θ+

π

3

），由于它是奇函数，故θ+

π

3

=kπ，k∈z，当k为奇数时，
f（x）=-2sin2x，满足在[0，

π

4

]上是减函数，此时，θ=2nπ-

2π

3

，n∈z，当k为偶数时，经检验不满足条件．

解答：解：∵函数f(x)=sin(2x+θ)+

3

cos(2x+θ)=2sin（2x+θ+

π

3

） 是奇函数，故θ+

π

3

=kπ，k∈z，θ=kπ-

π

3

．
当k为奇数时，令k=2n-1，f（x）=-2sin2x，满足在[0，

π

4

]上是减函数，此时，θ=2nπ-

4π

3

，n∈z，
选项B满足条件．
当k为偶数时，令k=2n，f（x）=2sin2x，不满足在[0，

π

4

]上是减函数．
综上，只有选项B满足条件．
故选 B．

点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，体现了分类讨论的数学思想，化简函数的解析式是解题的突破口．